容積に関する問題

2017年桜蔭中学の問題です。


右の図1は、1辺の長さがそれぞれ3cm、12cm、21cmの正方形を底面とする直方体から上の面を取り除いてできた3つの水そうA、B、Cを重ねて底面を固定した容器でこの容器を水平な床の上に置き、図のようにAにはAの蛇口から、BにはBの蛇口から、CにはCの蛇口から毎秒一定の量の水を同時に入れ始め、全ての水そうが水で満たされるまで3つの蛇口から水を入れ続けました。
20170221t001

 ただし、3つの蛇口から毎秒出る水の量は全て同じとし、容器の厚さは考えないものとします。
(1)右の図2は、水を入れ始めてから容器が水で満たされるまでの時間と水面の高さの関係を表したグラフです。水を入れ始めてから次のア秒後までの容器Bの水面が上昇する速さが毎秒\frac{1}{27}cm、ウが189であるとき、次の1)、2)を求めなさい。

20170221t002

1)1つの蛇口から1秒間に出る水の量
2)容器Cの高さ
(2)この容器を空にして、再び3つの蛇口から毎秒一定の量の水を入れました。全ての水そうが水で満たされるまでに2分かかったとき、1つの蛇口から1秒間に出る水の量を求めなさい。
【解説と解答】
(1)
1)Bの底面積は12×12-3×3=144-9=135cm2 毎秒\frac{1}{27}cmあがるのだから、135÷\frac{1}{27}=5cm3が毎秒加わる水の体積になります。
(答え)5cm3
2)Aの体積は3×3×15=135cm3なので、Aが満水になるまで135÷5=27秒・・・ア
そのとき、Bには高さ1cmまで水が入っています。その後Bには10cm3の水が毎秒入っていくことになるので、高さが9cmですから、
残り8cmになり、12×12-3×3=135 135×8÷10=108秒 27+108=135がイ。
135秒までにCには5×135=675cm3の水が入り、残り189-135=54 15×54=810cm3の水が入るので、合計1485cm3。
21×21-12×12=297 1485÷297=5cm
(答え)5cm
(2)Aの体積は135cm3、Bの体積は135×9=1215cm3 Cの体積は1485cm3 合計2835cm3
2835÷3÷120=7\frac{7}{8}cm3
(答え)7\frac{7}{8}cm3

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)


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