平面図形の問題

2016年駒場東邦の問題です。


図のような正六角形ABCDEFがあります。辺BC,CDの真ん中の点をそれぞれGHとします。

20161220t001

(1)三角形AGEの面積は正六角形ABCDEFの面積の何倍ですか。

(2)FGとAHが交わる点をI、FGとADが交わる点をJ、FGとAEが交わる点をKとします。
次の長さの比を最も簡単な整数の比で求めなさい。
① BGとAJ
② AKとKE

(3)正六角形ABCDEFの面積を12cm2とするとき、三角形AIKの面積を求めなさい。


【解説と解答】

20161220t002
(1)全体の面積を【6】とすると、三角形AFEは【1】、三角形ABGは【0.5】、三角形CDEも【1】、三角形GCEも【1】だから、三角形AGEは【6】-【3.5】=【2.5】
したがって\frac{25}{60}\frac{5}{12}

(答え)\frac{5}{12}

(2)FEの長さを(1)とすると、JLは(0.5) AD=(2)からAJ=(1.5)÷2=(0.75) BG=(0.5)よりBG:AJ=2:3
AK:KE=AJ:FE=0.75:1=3:4
(答え)BG:AJ 2:3 AK:KE 3:4

(3)
20161220t003
HからADに平行に線を引き、GEとの交点をQ、GFとの交点をPとするとPQ=(0.25) HQ=(1.5-0.25)÷2=0.625 HP=0.875 AJ=0.75だからAI:IH=0.75:0.875=6:7
したがって正六角形の6分の1の正三角形が2cm2になるので、三角形AJIは底辺が4分の3、高さが半分×13分の6だから13分の3。
三角形AJKは底辺が4分の3で高さが7分の3だから、結局三角形AIKは底辺が4分の3、高さが13分の3+7分の3で、91分の60
したがって2×\frac{3}{4}×\frac{60}{91}\frac{90}{91}

(答え)\frac{90}{91}cm2

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)


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