速さに関する問題

2015年早稲田実業の問題です。


下の図のように、横がたてより1.2km長い長方形の道があり、この道を走るマラソン大会に太郎君と次郎君が出場しました。マラソンのコースは、スタートがA地点で、時計回りにA→B→C→D→A→B→C→Dと走り、2回目にD地点に着いたときがゴールです。このコースには木が50mごとに立っていて、A地点に立っている木からA→B→C→DとD地点に立っている木まで数えると181本あり、BC間のE地点には給水所があります。

 また、このコースにはABに平行に川が流れており、A地点から1kmの距離にあるF地点とB地点から1kmの距離にあるG地点にはそれぞれ船着場があり、船がFG間を往復しています。川はGからFの方向へ分速130mの速さで流れており、船の静水時の速さは分速650mです。
 太郎君の走る速さを分速200m、次郎君の走る速さを分速160mとするとき、次の各問いに答えなさい。
(1)マラソンのコースは何kmですか。  
(2)A地点にいた三郎君は、太郎君と次郎君がA地点を同時にスタートしてから11分後にE地点の給水所に水をおき忘れたことに気がつきました。そこで、三郎君は水を持ってF地点まで走り、すぐに船に乗ってG地点へ行き、E地点まで走りました。すると、三郎君がE地点に到着してから3分45秒後に次郎君がE地点に来ました。三郎君の走る速さが分速200mのとき、E地点はB地点から何mのところにありますか。
(3)(2)のあと、「太郎君は給水所に水がなかったので水が飲めず、1回目のC地点を通過してから、走る速さが分速( ア )mになった。」ということを、E地点にいた三郎君は、次郎君がE地点を通過してから39分55秒後に知らされました。
  そこで、三郎君は再び水を持って分速200mでG地点まで走り、船に乗ってF地点へ行ったところ、太郎君も同時にF地点に到着したので、太郎君は三郎君から水をもらい、再び分速200mでゴールまで走りました。
  その結果、二人のうち( イ )君が( ウ )秒早くゴールしました。
  このとき、上の( ア )、( イ )、( ウ )を答えなさい。


(1)横の長さがたての長さより1.2km長いので、1200÷50=24よりたての長さを50×【1】とすると、横の長さは50×(【1】+24)ということになります。
このとき木の数は【1】+【1】+24+【1】+1=【3】+25=181 156÷3=52よりたてが50×52=2600m したがって横は3800mになるので、(2600+3800)×2=12800m=12.8km
それに、2.6×2+3.8=9km加わるので12.8+9=21.8kmになります。
(答え)21.8km

(2)船の分速は上りなので、650-130=520mですから、2600÷520=5分かかります。したがって三郎君がG地点に着いたのは1000÷200+5=10分。二人が出発して11分後に出たので、21分たっています。
次郎君は分速160mですから21分走ると160×21=3360m AからGまで3600mですから、240m手前にいます。三郎君がEについてから、次郎君が到着するまで3分45秒かかったので、160×3\frac{3}{4}=600mの差が付いたことになります。
差は360m広がったので360÷(200-160)=9分ですから、三郎君はGからFまで9分かかりました。したがってE地点は200×9+1000=2800m、Bからあります。
(答え)2800m

(3)次郎君がFに着いたのは二人が出発してから33分45秒後です。そこから39分55秒後に話を聞いたので73分40秒たっています。
そこから9分+(2600÷780)=12分20秒で合計86分たっています。AからCまで太郎君は6400÷200=32分ですから、残り5400mを54分で走っているので、分速100mになりました。
その後200mに分速が戻った太郎君は残り1000+2600×2+3800=10000mを移動するので、50分かかるから合計で32+54+50=136分かかっています。
一方次郎君は21800m÷160=136分15秒なので、太郎君が15秒早く着きます。
(答え)ア 100 イ 太郎君 ウ 15秒

「映像教材、これでわかる比と速さ」(田中貴)
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