2014年立教池袋中学の問題です。
図のような3種類の正三角形のカードがたくさんあります。これらを重ならないようにすきまなく並べて、1辺が7cmの正三角形を作ります。
ただし、3種類のカードはそれぞれ少なくとも1枚は使います。
次の問いに答えなさい。
（１）3種類のカードの合計枚数が最も多いときは、何枚ですか。
（２）3種類のカードの合計枚数が最も少ないときは、何枚ですか。
（１）1辺が3cmの正三角形は1辺が1cmの正三角形1＋3＋5＝9個でできています。
1辺が2cmの正三角形は1辺が1cmの正三角形1＋3＝4個でできています。
1辺が7cmの正三角形は1辺が1cmの正三角形1＋3＋5＋9＋11＋13＝（1＋13）×7÷2＝49個でできています。
したがって1辺が3cmの正三角形1個と1辺が2cmの正三角形1個、あとはすべて1辺が1cmの正三角形にすると
1辺が1cmの正三角形は49－9－4＝36個ですから、合計1＋1＋36＝38個です。
（答え）38個
（２）
9と4と1をなるべく少なく組み合わせて49を作ることを考えます。
9を3枚使うと、残りは49－27＝22 22で4を5枚使うことはできません。
したがって1を6枚使うことになるので、3＋4＋6＝13枚です。
ただ1辺が7cmなので、3cmを2枚にしてなるべく2cmの正三角形を多く使うことを考え、1cmの正三角形をなるべく使わないようにします。
すると9×2＋4×7＋1×3＝49が成り立ちます。
したがって12枚が最小になります。
（答え）12枚
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