2010年浦和明の星の出題です。
下の図のように、A地点からC地点へ行くには、途中でB地点を通ります。A地点からB地点に向かう道は上り坂で、B地点からC地点に向かう道は下り坂になっています。また、A地点からB地点までの距離とB地点からC地点までの距離の比は1：2です。
花子さんが、A地点からC地点までを往復したところ、行きが10分、帰りが14分かかりました。
ただし、花子さんの坂道を上る速さ、下る速さはそれぞれ一定であるとします。このとき、次の問いに答えなさい。
（1）花子さんがA地点からB地点までの坂を往復するとしたら、何分かかりますか。
（2）花子さんが坂を上るときの速さと下るときの速さの比を、もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
花子さんがA地点を出発するのと同時に、太郎くんがC地点から出発しました。そして、花子さんはC地点までを、太郎くんはA地点までをそれぞれ往復しました。ただし、太郎くんの坂道を上る速さ、下る速さはそれぞれ花子さんと同じとします。
（3）2人が二度目にすれ違うのは、出発してから何分何秒後になるかを求めなさい。
（１）AB：BC＝１：２です。したがって
行きの時間はABの距離を上り下りで往復する時間＋ABの下りの時間
帰りの時間ははABの距離を上り下りで往復する時間＋ABの上りの時間
合計するとABの距離を上り下りで往復する時間の３倍になっていることがわかります。
したがって（10＋14）÷３＝８分
（答え）8分
（２）14分と10分の差の４分がABの上りの時間と下りの時間の差です。
合計が8分ですから（８＋４）÷２＝６分が、上りにかかる時間
８分ー６分＝２分が下りにかかる時間。
したがって速さの比は逆に上り：下り＝２：６＝１：３
（答え）１：３
（２）10：７がかかる時間の比ですから速さの比は７：10
（答え）７：10
（３）
2人の動きをグラフにすると以下のようになります。
2回目は図のRのところです。
今回はグラフと相似形を利用します。
三角形RSTと三角形PQRは相似形になります。
PQの長さは24－10＝14
STの長さは22－20＝２
よりSR：RQ＝２：14＝１：７
SからQまで４分ありますからSからRまでは
４分×１/(１＋７）＝30秒なので
答えは20分30秒です。
（答え）20分30秒後
グラフを利用すると、どこで会うかは明確にわかるでしょう。
グラフを書く手間の分だけ、最後は相似で簡単に解くことができます。
「映像教材、これでわかる比と速さ」（田中貴）
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