2009年　洗足学園１回目の問題です。

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父親、母親、長女、次女、三女の5人家族がいます。現在、この家族の年令の和は126歳ですが、10年前の家族の年齢の和は78歳でした。また、5年後には長女が大学の近くに住むことを予定しているため、一緒に住めなくなるので、同居している家族の年齢の和は130歳になるといいます。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、子どもの年齢はすべて異なるものとします。
（1）現在、三女は何歳ですか。
（2）現在、長女は何歳ですか。
（3）現在、母親の年齢は次女の年齢の3倍よりも3歳多く、父親よりも5歳年下です。
　　現在、父親は何歳ですか。なお、この間題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

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年齢算の中にはいくつかおもしろいパターンがあるのですが、だいぶ古典的になってきて最近はあまり見かけなくなりました。

これはそのひとつ。

現在の５人の年令は126歳。10年前は78歳。　10年前を考えると、126－10×５＝76歳になるはずだから、10年間で8歳しか年をとらなかった人がいるということです。家族の和、といっているところがまあ、ミソです。5人の和だとウソになってしまうので。双子なら10年間で9歳ずつ、というパターンもあり得るのですが、今回の場合は子どもの年齢がすべて違うという条件なので、双子のケースは除外しましょう。

つまり、ここで三女は８歳とわかるわけです。

次に５年後に長女が同居しなくなるので、家族の年令の合計が130歳。

もし５年後に長女がいれば、126＋5×5＝151歳になっていないといけないので、151－130＝21才が長女の5年後の年齢。したがって現在長女は21－5＝16歳　となります。

そうすると現在の年令で次女を【1】とすると、母は【3】＋3　父は【3】＋8　より合計は【7】＋11　これが126－16－8＝102歳になります。

(102－11)÷７＝13才…次女　したがって父親は13×3＋8＝47歳と求められます。

（答え）（１）8歳　（２）16歳　（３）47歳

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2012年東京農大第一の問題です。

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メタン、プロパンという気体があります。これらの気体はよく燃え、燃料として用いられることがあります。以下の内容をもとに、後の問いに答えなさい。

メタンが燃えるとき、メタン100cm3と酸素200cm3ちょうど反応して、二酸化炭素100cm3と水ができます。

プロパンが燃えるとき、プロパン100cm3と酸素500cm3がちょうど反応して、二酸化炭素300cm3と水ができます。

このとき発生する水の体積は、気体の体積に比べて非常に小さいので無視することができます。

また、反応する気体（メタンと酸素、プロパンと酸素）はどちらかが余ることはあっても両方余ることはありません。つまり、メタン200cm3と酸素800cm3からなる混合気体1000cm3を燃やすと、メタン200cm3と酸素400cm3が反応して、二酸化炭素が200cm3できます。このことから、燃えたあとの気体は、反応しないで残った酸素が400cmと、燃焼によってできた二酸化炭素が200cm3あるので、合計は600cm3となります。

問1　メタン400cm3を完全に燃やすために必要な酸素の体積は何cm3ですか。

問2　プロパン50cm3と酸素250cm3からなる混合気体300cm3を燃やすと、燃やした後の気体の体積は合計で何cm3になりますか。

問3　メタン300cm3と酸素300cm3からなる混合気体600cm3を燃やすと、燃やした後の気体の体積は合計で何cm3になりますか。

問4　メタンとプロパンが200cm3ずつ混ざった気体があります。
　（1）この気体を完全に燃やすために必要な酸素の体積は何cm3ですか。
　（2）燃やした後、発生した二酸化炭素の体積は何cm3になりますか。

問5　メタン20cm3とプロパン30cm3と酸素250cm3が混ざった気体があります。この気体を燃やすと、酸素と二酸化炭素のみの気体になりました。燃やした後の気体の体積は合計で何cm3になりますか。

問6　メタンと酸素の混合気体1000cm3を燃やすと、800cm3の体積になりました。燃やした後の気体には酸素と二酸化炭素が存在していました。燃やす前の混合気体の中にあった酸素の体積は何cm3でしたか。

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問１　メタン：酸素：二酸化炭素は１：２：１
メタン400cm3に対しては酸素は400×２＝800cm3必要になります。
（答え）800cm3

問２　プロパン：酸素：二酸化炭素は１：５：３なので、
50×５＝250cm3の酸素が消費され、二酸化炭素が50×３＝150㎝3が出ます。
残った酸素はないので、残った気体は150㎝3
（答え）150㎝3

問３　メタン：酸素：二酸化炭素は１：２：１
酸素が300㎝3しかないので、燃えるメタンは300÷2＝150cm3
したがって残るのはメタンと150cm3の二酸化炭素になるので
150×２＝300
（答え）300cm3

問４　メタン200cm3に必要な酸素は200×2＝400㎝3　出る二酸化炭素は200㎝3
プロパン200㎝3に必要な酸素は200×５＝1000cm3　出る二酸化炭素は200×3＝600㎝3
したがって
（１）は1000＋400＝1400㎝3
（２）は200＋600＝800cm3

問５　全部燃えたということですから、
メタンに必要なのは20×2＝40㎝3の酸素、できる二酸化炭素は20㎝3
プロパンに必要なのは30×５＝150㎝3の酸素です。できる二酸化炭素は30×3＝90㎝3
必要な酸素は40＋150＝190cm3　残った酸素は250－190＝60㎝3
したがって気体の体積は
20＋90＋60＝170㎝3
（答え）170㎝3

問６　メタンの体積を【１】とすると、必要な酸素は【２】、できる二酸化炭素は【１】です。最初にあった酸素を（１）とすると

【１】＋（１）＝1000
（１）－【２】＋【１】＝800

という式を得られるので、
（１）＋【１】＝1000
（１）ー【１】＝800
から（２）＝1800　（１）＝900
（答え）900cm3

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2011年学習院中等科の問題です。

4ケタの数からある位の数を１つ消し、その位をつめて３ケタの数を作ったところ101になりました。このとき次の問いに答えなさい。
（１）この数になる４ケタの数のうち、最小の数を求めなさい。
（２）この数になる４ケタの数は全部でいくつあるか、求めなさい。
（３）この数になる４ケタの数をすべてたすといくつになるかを求めなさい。

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題意はシンプルだと思うのですが、ミスを起こさないように解いていきましょう。

（１）一番小さくなるのは100の位が０になるときですから、１００１が答えになります。
（答え）１００１

（２）■１０１　１■０１　１０■１　１０１■　
の４通りが考えられます。

最初の■１０１は０が入らないので■に入る数は９通り、それ以外はすべて■に１０通りの数字が入るので９＋１０×３＝３９通りになるのですが、
１１０１、１０１１、１００１が重複して数えられています。
したがって３９－３＝３６通り
（答え）３６通り

（３）
■１０１の和は　（１＋９）×９÷２×1000＋101×９＝45909
１■０１の和は　1001×10＋（1＋9）×10÷２×100＝10010＋4500＝14510
１０■１の和は　1001×10＋（1＋9）×10÷２×10＝10010＋450＝10460
１０１■の和は　1010×10＋（1＋9）×10÷２＝10100＋45＝10145
ここから
1101＋1011＋1001＝3113を引くので、
45909＋14510＋10460＋10145－3113＝77911
（答え）77911

場合分けをした後、重複をぬかさないように気を付けましょう。

「映像教材、これでわかる場合の数」（田中貴）

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