2013年 浅野中学の問題です。
階段を１歩で１段、２段、３段または４段のいずれかで上ることにします。
このとき、次の（１）、（２）の問いに答えなさい。
（１）次の（ア）～（オ）に当てはまる数をそれぞれ求めなさい。
５段の階段を上る上り方が何通りあるのかを求めてみます。最初の１歩を４段で上る上り方は（ア）通り、最初の１歩を３段で上る上り方は（イ）通り、最初の１歩を２段で上る上り方は（ウ）通り、最初の１歩を１段で上る上り方は（エ）通りあります。これから、５段の階段を上る上り方は、
（ア）＋（イ）＋（ウ）＋（エ）＝（オ）通りあることがわかります。
（２）８段の階段を上る上り方は何通りありますか。
（１)
最初の1歩を４段で上ると、あと１段しかないので、上り方は１通り→ア
最初の１歩を３段で上がると、２段残るので１＋１か２の２通り→イ
最初の１歩を２段で上がると、３段残るので１＋１＋１、１＋２、２＋１、３の４通り→ウ
最初の１歩を１段で上がると、４段残るので、
１＋１＋１＋１、２＋１＋１、１＋２＋１、１＋１＋２、２＋２、１＋３、３＋１、４の８通り→エ
したがって合計は１＋２＋４＋８＝１５→オ
（答え）ア １ イ ２ ウ ４ エ ８ オ １５
（２）
●最初の１歩が４段 残りは４段なので、８通り
●最初の１歩が３段 残りは５段なので、１５通り
●最初の１歩が２段 残りは６段
その次の１歩が１段だと残りは５段なので１５通り
その次の１歩が２段だと残りは４段なので８通り
その次の１歩が３段だと残りは３段なので４通り
その次の１歩が４段だと残りは２段なので２通り
したがってこの場合は合計２９通り
●最初の１歩が１段 残りは７段
その次の１歩が１段だと残りは６段なので、２９通り
その次の１歩が２段だと残りは５段なので、１５通り
その次の１歩が３段だと残りは４段なので、８通り
その次の１歩が４段だと残りは３段なので、４通り
したがってこの場合は合計５６通り。
合計は８＋１５＋２９＋５６＝１０８通り
（答え）１０８
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