図形を組み合わせる問題

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今年の筑駒の4番です。このように図形を組み合わせる問題は、近年増えています。


大きな長方形を、二辺の長さが2cm、3cmの長方形に余すことなく切り分ける方法について考えます。ただし、まわしたり裏返したりして重なるような方法は、同じものと考えます。

次の問いに答えなさい。

(1)大きな長方形が縦6cm、横7cmのとき、切り分ける方法は2通りあります。切り分ける線を解答用紙の図にかきなきい。

(2)大きな長方形が次の場合、切り分ける方法はそれぞれ何通りありますか。

(1) 縦6cm、横9cm

(2) 縦6cm、横12cm


(解説と解答)

ただ、闇雲にあわせていっても仕方がないし、当然出題者はある論理を持っているはずなので、これを考えていきましょう。

問題を通して縦は6cmになっています。切り分ける小さな長方形は2cm、3cmですから

2cm×3

もしくは

3cm×2

ということになります。

つまり3cmをはめると、もうたてにつなぐのは3cmしかなくなる。
2cmをはめると、残り4cmですからたてにつなぐのは2cmをのこり2本つなぐしかないのです。

そうすると横の考え方だけになります。

(1)の7cmは2×2+3しかありません。
つまり2-2-3か2-3-2と並べるしかないので、以下の2通りになるわけです。

(2)

(1)9cmはどうかというと

(あ)2×0+3×3 と (い)2×3+3×1
(あ)は1通りしかありません。
(い)は2-2-2-3と2-2-3-2の2通りになります。

したがって合計は1+2=3通りになります。

(2)12cmは

(あ)2×6+3×0 (い)2×3+3×2 (う)2×0+3×4

ということになります。
(あ)は1通り

(い)は
2-2-2-3-
2-2-3-2-
2-3-2-2-
3-2-2-2-
2-2-3-3-2
2-3-2-3-2

の6通りになります。

考え方としてはまず3の1つを一番右はしに固定します。そしてもうひとつの3を順に動かしていきます。

次に最初の3を右から二番目に固定し、一番右はしに2をおき、3をまた順に動かしていきます。

このように、ある論理をもって並べていくことで、重複を排除していきます。

(う)は1通り

したがって1+6+1=8通りになります。

縦の分を考えないだけ、楽だったとは思います。まあ、このくらいにしておいてくれると、解く気にはなるのですが。

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