2017年筑波大駒場の問題です。
図のように，同じ大きさの正三角形をしきつめて，それぞれの三角形に規則的に1，2，3，4，…と数を書きこみます。
例えば，5は3段目の左から2番目の三角形に書かれています。また，4段目の左から5番目の三角形に書かれている数は15です。
次の問いに答えなさい。
（1）10段目の一番左にある三角形に書かれている数を答えなさい。
（2）2017が書かれている三角形は、何段目の左から何番目の三角形ですか。
（3）しきつめられた図形の一部で，6個の正三角形からなる正六角形に注目し，その中の6つの数のうち最も大きい数と，6つの数 の和を考えます。
例えば，右図の太線で囲まれた正六角形において，6つの数のうち最も大きい数は15であり，6つの数の和は61です。
6つの数の和が610であるとき，6つの数の中で最も大きい数を答えなさい。
【解説と解答】
（１）n段目の一番右側の数はn×nになっていて、△の段にはn個の数字が並んでいるので、
10×10＝100 100－10＋1＝91
（答え）91
（２）2017に一番近い平方数を考えると、44×44＝1936 45×45＝2025ですから、45段目の右端から戻ります。
（段、左はしからの列）と表すと、
（45、89）＝2025、（45、88）＝2025－45＝1980
（45、87）＝2024、（45、86）＝2025－45＝1979
（45、85）＝2023、（45、84）＝2025－45＝1978
（45、83）＝2022、（45、82）＝2025－45＝1977･･･ となるので、2025－2017＝8から、2×8＝16より、
（45、73）＝2017
（答え）45段目 左から73番目
（３）右２つの和と真ん中2つの和が同じで、左２つの和はそれより2小さいから、
（610＋2）÷3＝204
一番小さい数をm、上の段数をnとすると、6つの数字は
m＋n－1、m、m＋n
m＋2×n－1、m＋3×n、m＋2×n
という関係にあるので、2×m＋3×n＝204
ですから、（m、n）＝（99、2）（97、4）（95、6）（99、8）（87、10）（85、12）･･･となります。
で、mはn段の数ですからn×nよりは小さくなければならず、（n－1）×（n－1）よりは大きくなければなりません。
したがって（87、10）があてはまります。
よって最大の数は87＋10×3＝117
（答え）117
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