数の性質に関する問題

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2015年聖光学院の問題です。


百の位と十の位の数が異なる3桁の整数Aに対して、次の操作を行います。

(操作)Aの百の位と十の位の数の差、十の位と一の位の数の差、百の位と一の位の数の差を順に百の位、十の位、一の位とする3桁の整数を作る。

 この操作で作られた数を【A】と表します。

 例えば【305】=352 【737】=440となります。

  このとき、次の問いに答えなさい。

(1)【【972】】+ 【【513】】を求めなさい。

(2)【A】=231となるAとして考えられる3桁の整数は全部でいくつありますか。

(3) 次の7つの3桁の整数のうち、操作を行うことでは作られない数をすべて答えなさい。
       100、 242、 345、 424、 522、 633、 725

(4) 次のア、イ、ウのすべてにあてはまる3桁の整数Aは1つだけあります。その整数Aを答えなさい。
ア Aは【A】より小さい。
イ Aの百の位の数と【A】の百の位の数の差は1である。
ウ Aと【A】の差は1桁の整数である。


【解説と解答】
(1)【972】=257 【257】=325  【513】=422 【422】=202 325+202=527
(答え)527

(2)Aという数をabcとすればaとbの差が2 bとcの差が3 aとcの差が1になります。
差が一番大きいのが最大の数と最小の数の差にならないといけないので、この場合b>a>c もしくはc>a>bでないと成り立ちません。
b>a>cの場合 (a、b、c)=(1、3、0)(2、4、1)(3、5、2)(4、6、3)(5、7、4)(6、8、5)(7、9、6)
c>a>bの場合 (a、b、c)=(2、0、3)(3、1、4)(4、2、5)(5、3、6)(6、4、7)(7、5、8)(8、6、9)
ということで、14通りになります。
(答え)14通り

(3)【A】の各位の数の内最大の数は、それ以外の数の和になっていないと成り立ちません。
したがって100、345、424、522ができません。
(答え)100、345、424、522

(4)A=abcとすると aとbの差はaより大きいことがわかります。
またAの百の位の数と【A】の百の位の数の差が1ですから、
a=1 b=3  a=2 b=5 a=3 b=7 a=4 b=9のいずれかになります。
Aの百の位の数と【A】の百の位の数の差が1でAと【A】の差が1桁の整数であることからb=9でなければ1桁にはなりません。
【499】=505で差が6
【498】=514で差が16
より答えは499
(答え)499

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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