場合の数の問題

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2013年 浅野中学の問題です。


階段を1歩で1段、2段、3段または4段のいずれかで上ることにします。
このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1)次の(ア)~(オ)に当てはまる数をそれぞれ求めなさい。
 5段の階段を上る上り方が何通りあるのかを求めてみます。最初の1歩を4段で上る上り方は(ア)通り、最初の1歩を3段で上る上り方は(イ)通り、最初の1歩を2段で上る上り方は(ウ)通り、最初の1歩を1段で上る上り方は(エ)通りあります。これから、5段の階段を上る上り方は、
(ア)+(イ)+(ウ)+(エ)=(オ)通りあることがわかります。

(2)8段の階段を上る上り方は何通りありますか。


(1)
最初の1歩を4段で上ると、あと1段しかないので、上り方は1通り→ア
最初の1歩を3段で上がると、2段残るので1+1か2の2通り→イ
最初の1歩を2段で上がると、3段残るので1+1+1、1+2、2+1、3の4通り→ウ
最初の1歩を1段で上がると、4段残るので、
1+1+1+1、2+1+1、1+2+1、1+1+2、2+2、1+3、3+1、4の8通り→エ
したがって合計は1+2+4+8=15→オ

(答え)ア 1 イ 2 ウ 4 エ 8 オ 15

(2)
●最初の1歩が4段 残りは4段なので、8通り
●最初の1歩が3段 残りは5段なので、15通り
●最初の1歩が2段 残りは6段
その次の1歩が1段だと残りは5段なので15通り
その次の1歩が2段だと残りは4段なので8通り
その次の1歩が3段だと残りは3段なので4通り
その次の1歩が4段だと残りは2段なので2通り
したがってこの場合は合計29通り

●最初の1歩が1段 残りは7段
その次の1歩が1段だと残りは6段なので、29通り
その次の1歩が2段だと残りは5段なので、15通り
その次の1歩が3段だと残りは4段なので、8通り
その次の1歩が4段だと残りは3段なので、4通り
したがってこの場合は合計56通り。

合計は8+15+29+56=108通り

(答え)108


「映像教材、これでわかる場合の数」(田中貴)

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