今週は素因数分解について説明しましょう。
素数というのは、１とその数以外に約数を持たない整数のことをいいます。１は素数ではありません。１から10までの整数の中で素数は２、３、５、７の４つになります。
整数を考えるとき、その整数をいくつかの素数の積に分解することを素因数分解といいます。小学生はまだ累乗は勉強しませんから、ただ横に並べて書くだけですが、例えば24という整数は
２×２×２×３と分解することができます。つまり、24は２が３つと３が１つ掛け合わされてできた整数だと言えるのです。この素因数分解を使って、いろいろな入試問題が作られていますが、まず基本的なところからご紹介しましょう。
（例題１）
200という整数には何個の約数がありますか。
（解説と解答）
約数が何個あるか、は素因数分解を使って解くことができます。
200を素因数分解すると2×2×2×5×5になります。200の約数はこのどれかをつかってできています。例えば4は200の約数ですが2×2と2を2つ使ってできているのです。素因数分解すると2は3つ、5は2つありますから、2の使い方は「使わない」という場合を含めて4通りの使い方があります。一方5は2個ありますから、「使わない」という場合を含めて3通りの使い方があります。したがって約数は4×3＝12個になるのです。2も5も使わないのが1になります。
では正しいか確かめてみましょう。200の約数を1から小さい順に書き出してみましょう。
1、2、4、5、8、10、20、25、40、50、100、200と12個になりました。
このようなやり方で約数の個数を求めることができます。
（答え）12個
（例題２）
２つの整数AとBがあります、AとBの最大公約数は24、AとBの最小公倍数は144です。AがBよりも大きい時、Aはいくつですか。
（解説と解答）
AとBの最大公約数が24ですから、A＝24×a B＝24×bと置くことができます。 このときaとｂには公約数が1以外にはありません。もし1以外の公約数があれば、24は最大公約数にはならないからです。
このようにお互いに1以外に約数がない関係のことを「互いに素」といいます。
AとBの最小公倍数が144ですから144＝24×a×bと置くことができるので、a×b＝6 になります。a＞bですから（a,b)＝（6,1)か（3,2)になります。したがってAは24×6＝144か24×3＝72になります。
（答え）144、72
（例題３）
1×2×3×･･･×100の積を3で繰り返し割っていきます。何回割り切ることができますか。
（解説と解答）
1×2×3×･･･×100を素因数分解したとき、3が何個でてくるか？という問題です。その個数分だけ3で割り切れることになります。
1～100までに3の倍数は100÷3＝33･･･1より33個あります。3×3=9ですから、最初の3は数えていますが、うしろの3は数えていません。1～100までに9の倍数は100÷9＝11･･･1ですからあと11個増えます。
3×3×3＝27で最初の2つは3の倍数、9の倍数で数えましたが、最後の3は数えていません。100÷27＝3･･･19よりあと3個増えます。
最後に3×3×3×3＝81があります。100÷81＝1･･･19であと1個増えるので、合計は33+11+3+1＝48個あるので、48回割り切れることになります。
（答え）48個
（例題４）
1×2×3×･･･×40までの積は1の位から何個0が続きますか。
（解説と解答）
この問題は良く入試で見かける問題でしょう。1の位に0がつくというのは10倍された、ということです。10を素因数分解すると2×5=10ですから1×2×3×･･･×40を素因数分解したときに5が何個あるかを調べれば良いことになります。（2の数は5の数より多いので、5の数の分だけ1の位から0が続くのです。）
40÷5＝8 5×5＝25ですから、最初の5は数えていますが、後ろの5は数えていませんので40÷25＝1･･･15より全部で8+１＝9個あるので9個0が続きます。
（答え）9個
（例題５）
1から50までの整数が書かれている50枚のカードがあります。裏には何も書かれていません。1番から50番までのゼッケンをつけた生徒50人がいます。1番の生徒はすべてのカードを裏返しました。数字が表になっているカードは1枚もありません。次に2番の生徒が2の倍数のカードをすべて表にします。次に3番の生徒が3の倍数のカードを裏になっているのは、表に、表になっているのは裏に、していきます。同様に4番の生徒は4の倍数、5番の生徒は5の倍数、とずっと続けていき、最後に50番の生徒まで同じ作業をしました。作業が終わったとき、カードが裏になっている番号をすべて答えなさい。
（解説と解答）
1番が全部裏返した後、1は誰も作業をしないので裏のままです。2番が2の倍数を表にします。その後2は一度も触られないので、2は表のままです。3は3番が表にした後、一度も作業されないので表のままです。4は2番が表にした後、今度は4番が裏にします。その後はだれも作業をしないので、4は最後まで裏です。
この違いを考えると、約数の個数であることに気が付きます。2は約数が1と2、3は約数が1と3と偶数個あるので、カードは表になります。しかし、4は約数が1、2、4と奇数個あるので、裏になるのです。
したがって1から50までに約数が奇数個ある数は何かを考えれば良いことになります。4が奇数個になった理由は2×2＝4であったからです。つまり同じ数を2回かけてできる整数は約数が奇数個になるのです。
その整数は2×2＝4、3×3＝9、4×4＝16、5×5＝25 6×6＝36 7×7=49と1が裏でおわります。
（答え）1、4、9、16、25、36、49
最近は数の性質の問題が増えてきて、素因数分解が使われることが多くなりました。平方根は中学校の範囲の問題ですが、答えが整数であればA×A＝324も素因数分解でAを求めることができます。
324＝2×2×3×3×3×3＝18×18と組み立てることができるのでAは18だとわかるのです。
したがって素因数分解を柔軟に使えるようにしておくことが大切です。
以下のプリントもお役立ていただければと思います。
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