濃度に関する問題

2017年麻布中学の問題です。


2つの空の容器AとBに、1800gの水を分けて入れ、以下の操作を行って同じ濃さの砂糖水を作ります。ただし、砂糖水の渡さとは、砂糖水の重さに対する砂糖の重さの割合のことです。

【操作1】:Aに4gの角砂糖を1個、Bに3gの角砂糖を1個それぞれ入れて溶かす。
【操作2】:AとBの砂糖水の濃さを比べて、Aの方が濃いときはBに3gの角砂糖を1個入れて溶かし、Bの方が濃いときはAに4gの角砂糖を1個入れて溶かす。

 まず【操作1】を行い、その後はAとBの砂糖水の濃さが同じになるまで【操作2】をくり返し行います。砂糖水の濃さが同じになったら操作を終えるものとして、以下の問いに答えなさい。

(1)Aに入れる水の重さを1200gにすると、AとBの砂糖水の濃さが同じになるまでに、AとBに角砂糖をそれぞれ何個入れることになりますか。【操作1】で入れるものも合わせて答えなさい。

(答え)Aに(   )個、Bに(   )個

(2)Aに入れる水の重さを( ア )g、Bに入れる水の重さを( イ )gにすると、【操作1】の後【操作2】がちょうど10回行われ、AとBの砂糖水の濃さが同じになります。ただし、【操作1】で入れるものも合わせて、Aには角砂糖が2個以上入り、Aに入れる角砂糖の個数よりBに入れる角砂糖の個数の方が多くなります。このとき、( ア ):( イ )をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

(答え)( ア ):( イ )=(    ):(    )

(3)Aに入れる水の重さを( ウ )g、Bに入れる水の重さを( エ )gにすると、【操作1】の後【操作2】が30回以上行われ、AとBの砂糖水の濃さがどちらも6.25%になります。このとき、( ウ ):( エ )をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

(答え)( ウ ):( エ )=(    ):(    )


【解説と解答】
(1)Aに1200gの水が入れば、Bには600gになります。
AとBに入る砂糖の量がA:B=2:1になればいいので、以下の表のようになります。
20170627t002
(答え)A 3個 B 2個

(2)Aには8g以上の砂糖が入っています。個数は合わせて12個にならないといけないので、
(Aの個数、Bの個数)=(2、10)(3、9)(4、8)(5、7)
(Aの砂糖の重さ、Bの砂糖の重さ)=(8、30)(12、27)(16、24)(20、21)
になります。
このとき、砂糖の重さは互いに素でないと、10回に達する前に同じ比になってしまいます。
したがって条件に合う比は(20。21)だけなので、これが答えです。
(答え)20:21

(3)水の量は合わせて1800gです。濃さが6.25%ですから砂糖:水=6.25:93.75=1:15になるので、砂糖の重さは1800÷15=120gです。
Aには4g、Bには3gずつ入っていくので、4×A+3×B=120とすると、A、Bの組み合わせはA、Bの0をのぞくと
(A、B)=(27、4)(24、8)(21、12)(18、16)(15、20)(12、24)(9、28)(6、32)(3、36)
となり、互いに素になるのは
(27、4)(9、28)の2つですが、(27、4)は【操作2】の回数が30回を越えません。
したがって(36g、84g)となるのでウ;エ=36:84=3:7
(答え)3;7


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