速さに関する問題

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2015年開成中学の問題です。


下図のようなランニングコースがあります。A地点とD地点の間の道は平らで長さは200m、B地点とC地点の間の道も平らで長さは100m、A地点からB地点へ向かう道は上り坂で長さは120m、D地点からC地点へ向かう道も上り坂で長さは180mです。

 ゆう君はA地点を、まさひろ君はD地点を同時に出発して、ゆう君はA→B→C→D→A→B→・・・の向きに、まさひろ君はD→C→B→A→D→C→・・・の向きに走ります。二人とも平らな道を毎分100mの速さで走ります。ゆう君はA地点からB地点までの上り坂を毎分84mで、C地点からD地点までの下り坂を毎分105mで走り、まさひろ君はD地点からC地点までの上り坂を毎分90mで、B地点からA地点までの下り坂を毎分126mで走ります。
 次の問いに答えなさい。
(1)ゆう君、まさひろ君がこのコースを一周するのにかかる時間はそれぞれ何分ですか。
(2)ゆう君、まさひろ君はB地点とC地点の間ではじめてすれ違います。その地点はB地点から何mの場所ですか。
(3)ゆう君、まさひろ君がB地点とC地点の問で次にすれ違うのは、(2)で求めた場所からどちらへ何mずれた場所ですか。
(4)ゆう君、まさひろ君がはじめてÅ地点とB地点の間ですれ違うのは、走りはじめてから何回目にすれ違うときですか。またその地点はB地点から何mの場所ですか。


【解説と解答】
(1)ゆう君はABが上りなので120÷84=\frac{10}{7} CDの下りは180÷105=\frac{12}{7} 合計\frac{22}{7}
(200+100)÷100=3分だから1周は6 \frac{1}{7}分。
まさひろ君はABが下りなので120÷126=\frac{20}{21} CDが上りなので180÷90=2分 合計2 \frac{20}{21}
それに3分を加えるので1周5 \frac{20}{21}

(答え)ゆう君 6 \frac{1}{7}分 まさひろ君 5 \frac{20}{21}

(2)ゆう君がBに来るのは\frac{10}{7} まさひろ君がCにくるのは2分後。したがって2分後にはゆう君は
2-\frac{10}{7}\frac{4}{7}分進んでいるので、Bから100×\frac{4}{7}\frac{400}{7}mのところにいます。
二人の間の距離は 100-\frac{400}{7}\frac{300}{7} mになっているから、その半分のところで出会うので
\frac{400}{7}\frac{150}{7}\frac{550}{7}=78 \frac{4}{7}mのところです。

(答え)78 \frac{4}{7}m

(3)まさひろ君は1周に5 \frac{20}{21}分かかるので、次にCにくるのは、\frac{20}{21}+2=7 \frac{20}{21}
ゆう君が次にBにくるのは 6 \frac{1}{7}分+\frac{10}{7}=7 \frac{4}{7}なので、まさひろ君がCを出発するとき、ゆう君はすでに\frac{8}{21}分進んでいます。
100-100×\frac{8}{21}\frac{1300}{21} したがって、その場所はBから
\frac{800}{21}\frac{650}{21}\frac{1450}{21}=69 \frac{1}{21}mのところになるので
78 \frac{4}{7} - 69 \frac{1}{21}=9 \frac{11}{21}
(答え)Bへ=9 \frac{11}{21}mずれたところ

(4)1周につき9 \frac{11}{21}\frac{200}{21}mずれるので
78 \frac{4}{7}÷\frac{200}{21}\frac{550}{7}÷\frac{200}{21}\frac{33}{4}
8回ずれるということはBC間で9回出会うことになります。

9周した後、まさひろ君がBにいるのは5 \frac{20}{21}分×9+2分+1分=56 \frac{4}{7}
56 \frac{4}{7}÷6 \frac{1}{7}\frac{396}{7}÷\frac{43}{7}=9・・・\frac{9}{7}
したがってゆう君はAから\frac{9}{7}分移動しているので84×\frac{9}{7}=108m 120-108=12mが二人の間の距離です。
ここでまさひろ君とゆう君の速さの比は126:84 
12×(126+84)×126=7.2m
二人は1周すると2回出会うので、2×9+1=19回目になります。

(答え)7.2m 19回

「映像教材、これでわかる比と速さ」(田中貴)

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