規則性に関する問題

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2014年暁星中学の問題です。


池の周りの道を2台の車A、Bが走っています。いまA、Bが同時にP地点をスタートしました。Aは1周を60秒かかって走りますが、1周ごとに2秒多くかかって走ることにしました。一方、Bは1周を70秒かかって走りますが、1周ごとに1秒多くかかって走ることにしました。たとえば4周走るのにAは252秒、Bは286秒かかります。2台の車が30周するとき、Aは途中1回だけP地点で27秒間止まり、また次の1周を60秒かかって走り、同じように1周ごとに2秒多くかかって走ります。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)Aが15周してP地点で27秒間止まったとき、30周するには何秒かかりますか。

(2)30周して同時にABがP地点に着きました。このとき、Aは何周してP地点で1回だけ27秒間止まりましたか。


【解説と解答】
(1)15周すると、14回秒数が増えるので、60×15+(2+28)×14÷2-900+210=1110
ここで27秒休み、また1110秒かかるので、1110×2+27=2220+27=2247秒

【答え】2247秒

(2)Bは30周するのに70×30+(1+29)×29÷2=2100+435=2535秒
Aは30周するのに、元の速さと休憩分で60×30+27=1800+27=1827
2535-1827=708秒
708÷2=354なので、n周目で休憩すると

1+2+3+・・・+n-1+1+2+3+・・・+(30-n-1)=354

n=15のときに、(1+14)×14÷2×2=210
n=20のときに、(1+19)×19÷2+(1+9)×9÷2=190+45=235
n=29のときに (1+28)×28÷2=406
n=25のときに、(1+24)×24÷2+(1+4)×4÷2=300+10=310
n=27のときに、(1+26)×26÷2+(1+2)×2÷2=351+3=354

で27周とわかります。ということは、最初に3周で休んでも同じことになるので、答えは3周と27周です。

(答え)3周 27周

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