2014年暁星中学の問題です。
池の周りの道を2台の車A、Bが走っています。いまA、Bが同時にP地点をスタートしました。Aは1周を60秒かかって走りますが、1周ごとに2秒多くかかって走ることにしました。一方、Bは1周を70秒かかって走りますが、1周ごとに1秒多くかかって走ることにしました。たとえば4周走るのにAは252秒、Bは286秒かかります。2台の車が30周するとき、Aは途中1回だけP地点で27秒間止まり、また次の1周を60秒かかって走り、同じように1周ごとに2秒多くかかって走ります。このとき、次の各問いに答えなさい。
（1）Aが15周してP地点で27秒間止まったとき、30周するには何秒かかりますか。
（2）30周して同時にABがP地点に着きました。このとき、Aは何周してP地点で1回だけ27秒間止まりましたか。
【解説と解答】
（１）15周すると、14回秒数が増えるので、60×15＋（2＋28）×14÷2－900＋210=1110
ここで27秒休み、また1110秒かかるので、1110×2＋27＝2220＋27＝2247秒
【答え】2247秒
（２）Bは30周するのに70×30＋（1＋29）×29÷2＝2100＋435＝2535秒
Aは30周するのに、元の速さと休憩分で60×30＋27＝1800＋27＝1827
2535－1827＝708秒
708÷2＝354なので、n周目で休憩すると
1＋2＋3＋･･･＋n－1＋1＋2＋3＋･･･＋（30－n－1)＝354
n＝15のときに、（1＋14）×14÷2×2＝210
n＝20のときに、（1＋19）×19÷2＋（1＋9）×9÷2＝190＋45＝235
n＝29のときに （1＋28）×28÷2＝406
n＝25のときに、（1＋24）×24÷2＋（1＋4）×4÷2＝300＋10＝310
n＝27のときに、（1＋26）×26÷2＋（1＋2）×2÷2＝351＋3＝354
で27周とわかります。ということは、最初に3周で休んでも同じことになるので、答えは3周と27周です。
（答え）3周 27周
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