容積の問題

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2011年 豊島岡の問題。


1辺が50cmの立方体の水そうと、どの辺の長さも50cmより短い直方体のレンガがあります。
レンガの3つの面には図1のようにA、B、Cとかかれています。平らな面の上に置かれた空の水そうの中に図2のようにレンガを平らに置き、毎分1000cm3の割合で水を入れます。A、B、Cのそれぞれの面を下にしたときの3つの場合について、水を入れ始めてからの時間と水の深さの関係を調べました。下の図3は面Aと面Bを下にして置いた場合のこの関係をグラフにしたものです。

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)面Bの面積は何cm2ですか。

(2)水を入れ始めてから水の深さが36cmになるまでの時間を考えます。面Aを下に置いた場合は、面Cを下にしておいた場合より何分何秒早くなりますか。


(1)
レンガのそれぞれの辺の長さを図のようにア、イ、ウと決めます。

Bを下にしたときは、50分で40㎝まで水が入りいますが、その後のグラフが変わっていないので図のアの長さは40cm以上あります。
52分までに水は1000×52=52000cm3 入ります。一方容積は50×50×40=100000cm3。

したがって入っているレンガの体積は100000-52000=48000cm3ですから、
48000÷40=1200cm2がBの面積です。

(答え)1200cm2

(2)グラフからウが30㎝ということがわかります。面Aを下に置いたとき、深さが30㎝になるまでに21分かかっていますから、1000×21=21000cm3の水が入っているわけですが、深さ30㎝であれば50×50×30=75000cm3の容積があるはずなので、このレンガの体積は75000-21000=54000cm3になり、ウが30㎝ですから、54000÷30=1800cm2がAの面積になります。

54000÷1200=45cmよりアの長さは45cm 1200÷30=40cmがイの長さになります。

ここで面Cを下に置いたときは、Cは30×45=1350cm2で40cmの高さになります。
深さ36cmまで水が入る時間は
36×(2500-1350)÷1000=41.4分です。

Aを下に置いたときは30㎝までは21分とわかっていますから後6㎝入れば良いので、
50×50×6÷1000+21=36分になります。

したがってAを下に置いた方が41.4-36=5.4分早くなることになります。
(答え)5分24秒

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)
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