2016年東大寺学園の問題です。
3種類の数字1、2、3を次の規則A、B、Cにしたがって、左から順に一列に並べます。
規則A 1の次は3
規則B 2の次は2または3
規則C 3の次は1または2または3
例えば、2個の数字を並べるとき、13、22、23、31、32、33の6通りの並べ方があります。このとき、次の問いに答えなさい。
（1）4個の数字を並べるとき、左から1番目と4番目が2である並べ方は全部で何通りありますか。
（2）10個の数字を並べるとき、左から1、4、10番目が2で左から7番目が1である並べ方は全部で何通りありますか。
（3）10個の数字を並べるとき、左から1、4、10番目が2である並べ方は全部で何通りありますか。
【解説と解答】
(1)
最初に2があるのは22、23、最後に2があるのは22、32です。
2222、2232、2322、2332と４つあります。
（答え）4通り
(2)
左から4桁は2222、2232、2322、2332です。
残り6桁では○○1○○2となるので、1の前は3しかないから、○31○○2となり、2の前は2か3なので○31○22、○31○32です。
2の次は2か3ですから、
231○22、231○32、331○22、331○32
1の次は3と決まるので
231322、231332、331322、331332の4つですから4×4＝16通りあります。
（答え）16通り
(3)
最初の4桁は2222、2232、2322、2332
また最後の2桁は22か32になります。
その間の4桁は最初が2か3になるので、
2222、2223、2231、2232、2233、2313、2322、2323、2331、2332、2333、
3131、3132、3133、3222、3223、3231、3232、3233、3313、3322、3323、3331、3332、3333
の25通りありますが、
このうち2につながるのは最後の数が2か3なので、20個です。
したがって4×20×1＋4×25×1＝80＋100＝180
（答え）180通り
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