2016年麻布中学の問題です。
2016は各位の和が9となる4けたの整数です。このような整数を小さい順に並べると次のようになります。
1008、1017、1026、1035、…、9000
この数の列について、以下の問いに答えなさい。
（1）2016は何番目にありますか。
この数の列にある整数はすべて9の倍数です。したがって、これらの整数は3で2回以上割り切れることがわかります。例えば、1026を3で割っていくと、
1026÷3＝342 342÷3＝114 114÷3＝38 38÷3＝12あまり2
となり、3回目までは割り切れますが4回目は割り切れません。このとき、「1026は3でちょうど3回割り切れる」ということにします。
（2）この数の列の中には、5でちょうど3回割り切れる整数がいくつかあります。それらのうち、最も小さい整数と3番目に小さい整数を答えなさい。
（3）2016は2でちょうど5回割り切れる整数です。このような整数は列の中に2016を除くと3個あります。それらをすべて答えなさい。
【解説と解答】
(1)
1000の位が1の数は、残り3桁の和が8になります。
100の位が0は残り2桁が08、17、26、…、71、80と9個あります。
100の位が1は残り2桁07、16、25…、52、61、70と8個。
100の位が1800が最後ですから、（1＋9）×9÷2＝45個
1000の位が2の数は、残りの3桁の和が7
100の位が0は残り2桁が07、16となるから47番目になります。
（答え）47番目
(2)各位の和が9ですから、9で割り切れます。かつ5で3回割れるので、9×5×5×5＝1125の倍数です。
1125は一番小さな数になります。
1125×2＝2250 1125×3＝3375 1125×4＝4500 なので3番目は4500です。
（答え）最も小さな数が1125 3番目が4500
(3)
2×2×2×2×2＝32なので9×32＝288の倍数になります。これ以上2で割れてはいけないので、
288×3＝864 288×5＝1440 288×7＝2016 288×9＝2592 288×11＝3168 288×13＝3744
288×15＝4320 288×17＝4896 288×19＝5472 288×21＝6048 288×23＝6624
288×25＝7200ですべてです。
（答え）1440、4320、7200
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