数の性質の問題

2015年暁星中学の問題です。


次の各問いに答えなさい。
(1)520を素数だけの積の形にしなさい。ただし、素数とは1とその数の他に約数がない数のことで、例えば2や3などのことです。1は素数に含めません。12は2×2×3となります。
(2)468から478までの連続する整数の和、468+469+470+・・・+478を求めなさい。
(3)520を連続する5つの整数の和として表すとき、5個のうつ、一番小さい数と一番大きな数を求めなさい。
(4)520は最大で何個の連続する整数の和であらわすことができるか。またそのときの一番小さな数を求めなさい。


【解説と解答】
(1)520=2×2×2×5×13となります。
(答え)2×2×2×5×13
(2)478-467=11個です。(468+478)×11÷2=5203
(答え)5203
(3)一番小さな数を【1】とすると5つですから、【1】、【1】+1、【1】+2、【1】+3、【1】+4となるので合計【5】+10=520 (520-10)÷5=102 が一番小さな数になり、一番大きな数は102+4=106です。
(答え)一番小さい数 102 一番大きな数106
(4)n個の数でできているとすると、一番小さな数を【1】とすれば、【1】×n+(1+n-1)×(n-1)÷2=n×{【1】+(n-1)÷2}=520 よりn×{【2】+(n-1)}=1040
ここでnは1040の約数だから1040=2×2×2×2×5×13 またnが偶数ならば、{【2】+(n-1)}は奇数。nが奇数ならば、{【2】+(n-1)}は偶数になるので、偶数×奇数の組み合わせを探すことになります。
1040の約数は1040、520、260、208、130、104、80、65、52、40、26、20、16、13、10、8、5、4、2、1
奇数×偶数の組み合わせは、1040×1、80×13、65×16
n=13のとき、【1】=34
n=16のとき、【1}=25より最大はn=16 一番小さい数は25となります。
(答え)16個 一番小さい数は25

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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